Liczby i działania w gimnazjum

Cyfry rzymskie

I = 1
V = 5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000

Liczby naturalne dzielimy na:

• liczby pierwsze – liczba pierwsza to liczba mająca tylko dwa dzielniki, czyli dzieli się przez 1 i siebie samą, np. 2, 3, 5, 7, 11…. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele
• liczby złożone – liczba złożona to liczba, która ma więcej niż dwa dzielniki, np. 4, 15, 39….
• Liczby 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi ani złożonymi.

Cechy podzielności liczb naturalnych :

• liczba jest podzielna przez 2, gdy jest liczbą parzystą, czyli gdy cyfra jedności tej liczby jest parzysta,
• liczba jest podzielna przez 3, gdy suma wszystkich jej cyfr daje liczbę podzielną przez 3
• liczba jest podzielna przez 4, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4
• liczba jest podzielna przez 5, gdy cyfra jedności tej liczby jest 0 lub 5
• liczba jest podzielna przez 9, gdy suma wszystkich jej cyfr daje liczbę podzielną przez 9
• liczba jest podzielna przez 10, gdy cyfra jedności tej liczby jest 0
• liczba jest podzielna przez 100, gdy cyfra jedności i dziesiątej tej liczby jest 0

Rozkład liczby złożonej na czynniki pierwsze

Zapisanie liczby złożonej w postaci iloczynu liczb pierwszych nazywamy rozkładem liczby złożonej na czynniki pierwsze.

Mając liczbę złożoną dzielimy ją przez liczby pierwsze, stawiamy kreskę i po prawo kreski zapisujemy dzielnik a po lewo wynik dzielenia.

45 możemy również podzielić przez 3, zmieni to jedynie kolejność

720=2∙2∙2∙2∙5∙3∙3

NWD (a, b) – Największa Wspólny Dzielnik liczby a i b, to iloczyn czynników rozkładu występujące w liczbie a i liczbie b

NWD(198, 154)=2∙11=22 to największa liczba przez jaką możemy podzielić 198 i 154.

NWD głównie wykorzystujemy do skracania ułamków zwykłych jak również do oceny ułamka czy jest właściwy czy niewłaściwy.

NWW (a, b) – Najmniejsza Wspólna Wielokrotność liczby a i b, to iloczyn czynników rozkładu występujące w liczbie a i liczbie b i liczb niepowtarzalnych. Gdy znamy NWD (a, b) to jest to iloczyn NWD (a, b) i liczb, z rozkładu które się nie powtarzają.

NWW głownie wykorzystujemy do sprowadzania ułamków zwykłych do wspólnego mianownika.

Liczba wymierna to liczba, którą można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego.

Ułamek dziesiętny, to zapis ułamka zwykłego za pomocą liczby, przedstawionej z częścią całości po przecinku.

Zamiana ułamka zwykłego na ułamek dziesiętnego, polega na zamianie mianownika na mianownik 10, 100, 1000, 10000

Ilość miejsc po przecinku wskazują ilość zer w mianowniku, jeśli licznik zawiera za mało cyfr, należy dopisać w brakujące miejsca zera przed pierwszą cyfrą.

  rozszerzyliśmy mianownik do 100 (dwa miejsca po przecinku muszą być zajęte), w liczniku mamy 46 więc od razu po przecinku piszemy 46

rozszerzyliśmy mianownik do 100 (dwa miejsca po przecinku muszą być zajęte), w liczniku mamy 6 więc 6 trafia na ostatnie miejsca a w brakujące wpisujemy zero.

Ułamki zwykłe

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych można wykonać tylko gdy mają wspólny mianownik. Mając wspólny mianownik, dodajemy lub odejmujemy liczniki a mianownik pozostawiamy bez zmiany.

Gdy mamy całości w ułamkach to dodajemy lub odejmujemy całości do całości a ułamki do ułamków

Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Ułamki możemy dodać lub odjąć tylko wtedy, gdy mamy TAKIE same mianowniki.

Aby dodać te dwa ułamki musimy najpierw znaleźć wspólny mianownik, czyli rozszerzyć mianownik do takiej liczby, która jest podzielna przez 3 i 9, jest to 9

Mnożenie ułamków

Mnożenie ułamków zwykłych można wykonać na dowolnych ułamkach. Mnożymy licznik pierwszego przez licznik drugiego ułamka i mianownik pierwszego przez mianownik drugiego mianownika.

Dzielenie ułamków

Dzielenie dwóch ułamków zwykłych, to mnożenie pierwszego ułamka przez odwrotność drugiego ułamka.

Procent z danej wielkości to setna część z tej wielkości.

• Zamiana procentu na ułamek zwykły, należy w liczniku zapisać wielkość w procentów (bez symbolu procent) a w mianowniku 100
• Zamiana procentu na ułamek dziesiętny, należy daną wielkość wyrażoną w procentach podzielić przez 100
• Zamiana ułamka zwykłego na procent, należy ułamek pomnożyć przez 100
• Zamiana ułamka dziesiętnego na procent, należy dany ułamek pomnożyć przez 100.
  
• Obliczenie procentu danej liczby . Dany procent zamieniamy na ułamek zwykły i mnożymy przez liczbę
  
  a% to procent, który liczmy zapisujemy bez ,
  c – liczba, z której liczymy procent25% liczby 48
  

  12% z liczby 32

  

• Obliczenie, jaki procent jednej liczby stanowi druga liczba  , to zapis tych liczb w ułamku zwykłym i zamiana na procenty, czyli pomnożenie przez
  
  Jakim procentem liczby 60 jest 15?
• Obliczenie liczby b, gdy dany jest jej procent a%, to zamieniamy procenty na ułamek  , następnie dana wielkość mnożymy przez odwrotność tego ułamka
  
  Jaka to liczba, jeśli wiadomo, że 40% to 16?

[yasr_visitor_votes]