Potęgi i pierwiastki

Potęgi

Potęgowanie to wielokrotne mnożenie tych samych liczb, zapisujemy

\sf a^n   = a \cdot a \cdot ... \cdot a

a – jest podstawą potęgi

n – wykładnikiem potęgi

Pamiętajmy:

• każda liczba podniesiona do zerowej potęgi daje 1

\sf a^0   = 1

• zero podniesione do dowolnej potęgi daje zero

\sf 0^n   = 0

• każda liczba (dodatnia lub ujemna) podniesiona do potęgi parzystej daje liczbę dodatnią
• liczba ujemna podniesiona do potęgi nieparzystej daje liczbę ujemną

Własności potęg

• iloczyn potęg o tych samych podstawach

\sf a^m \cdot a^n   = a^{m+n}

• • iloraz potęg o tych samych podstawach

\sf a^m : a^n   = a^{m-n}

\sf \cfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

• • potęgowanie iloczynu

\sf (a \cdot b)^n  = a^n \cdot b^n

• • potęgowanie ilorazu

\sf (a : b)^n   = a^n : b^n

\sf (\cfrac{a}{b})^n = \cfrac{a^n}{b^n}

• • potęgowanie potęgi

\sf  (a^n)^m  = a^{n \cdot m}

Porównywanie potęg

Notacja wykładnicza

Liczba w postaci notacji wykładniczej \sf   a \cdot 10^k

a – liczba większa bądź równa 1 i mniejsza od 10

1 ≤ a < 10

k – liczba całkowita

Pierwiastki

Pierwiastek kwadratowy to pierwiastek drugiego stopnia, z liczby nieujemnej (dodatnie z zerem) a jest równy nieujemnej liczbie b, której kwadrat jest równa a – pierwiastkowanie to odwrotność potęgowania.

Wyznaczając wartość pierwiastka z liczby mieszanej (ułamek mieszany) najpierw zamieniamy na ułamek niewłaściwy.

Pierwiastek sześcienny (stopnia trzeciego) z liczby a jest równy liczbie b, której sześcian jest równy a.

\sf \sqrt[3]{a}  = b \quad \text{bo } \quad b^3 = a

Właściwości pierwiastka

\sf \sqrt{0}  = 0

\sf \sqrt{1}  = 1

\sf \sqrt{a^2}  = (\sqrt{a})^2=a

• Iloczyn pierwiastków kwadratowych

\sf   \sqrt{a}  \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}  \quad a \geq 0 \quad i \quad b \geq 0

• Iloraz pierwiastków kwadratowych

\sf  \cfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\cfrac{a}{b}}  \quad a \geq 0 \quad i \quad b \geq 0

• Kwadrat pierwiastka kwadratowego

\sf (\sqrt{a})^2=a   \quad a \geq 0

• Iloczyn pierwiastków sześciennych

\sf   \sqrt[3]{a}  \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \cdot b} 

• Iloraz pierwiastków sześciennych

\sf \cfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{\cfrac{a}{b}} 

• Sześcian pierwiastka sześciennego

\sf  (\sqrt[3]{a})^3=a