Geometria płaska – ogólna 1 klasa liceum

Figurą geometryczną płaską nazywamy dowolny zbiór punktów na płaszczyzny. Punkt to najprostsza figura płaska.

Przez dwa dowolne punkty możemy przeprowadzić tylko jedną prostą. Leżące na jednej prostej trzy lub więcej punktów, punkty te są współliniowe. Prosta nie ma początku ani końca, należy do niej nieskończenie wiele punktów.

Odcinek AB to figura utworzona z punktu A i B oraz z punktów prostej leżącej pomiędzy A i B.

Odcinek – wycinek prostej, który ma początek i koniec. Długość odcinka jest zawsze do określenia.

Prosta – linia, która nie ma początku ani końca

Półprosta – linia, która ma początek, ale nie ma końca. półprosta jest połową prostej.

Rodzaje figur:

• Figura wypukła – gdy dwa dowolne punkty należące do figury połączymy, a utworzony odcinek zawiera się w tej figurze to figura jest wypukła

• Figura wklęsła – gdy dwa dowolne punkty należące do figury połączymy, a utworzony odcinek nie zawiera się w tej figurze to figura jest wklęsłą

Kąt to obszar powstały z rozcięcia płaszczyzny przez półproste w wspólnym początku.

Ramiona kąta to półproste

Wierzchołek kąta początek półprostych

Rodzaje kątów

• Kąt półpełny to kąt, którego ramiona tworzą prostą

• kąt pełny to płaszczyzna z półprostą

• kąt zerowy to półprosta z płaszczyzną

Miarą kąta powszechnie używana to miara stopniowa, gdzie kąt pełny to

Używamy do określenia miary radialnej, gdzie kąt pełny to  a zatem . Sporadycznie używane są też grady które mają zależność między stopniami

Podział kątów:

1. Kąty wypukłe  (0 – 180 stopni)

• Kąt ostry 0º – 90º
• Kąt prosty 90º
• Kąt rozwarty 90º – 180º

2. Kąty wklęsłe (180 – 360 stopni)

Kąty przyległe mają jedno wspólne ramię, a dwa pozostałe tworzą prostą

α + β = 180º

Kąty wierzchołkowe, gdy ramiona jednego kąta są przedłużeniem drugiego kąta α = β

Figura płaska jest ograniczona, gdy istnieje takie koło które zawiera tą figurę.

Figurę nieograniczoną jest prosta, półprosta, kąt, płaszczyzna.

Wielokąty

Wielokątem nazywamy figurę ograniczoną łamaną, najczęściej zamkniętą i wyciętą z płaszczyzny.

Przekątna wielokąta – odcinek łączący dwa wierzchołki. Liczbę przekątnych w n-kącie liczymy wzorem

Wielokątem foremnym nazywamy taki wielokąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość i wszystkie kąty są równe.

Suma kątów w wielokącie (kąty wewnętrzne). n – liczba boków

W dowolnym wielokącie wypukłym suma wszystkich kątów zewnętrznych jest równa

Położenie prostych na płaszczyźnie

• Proste równoległe – dwie proste są równoległe, gdy nie mają punktów wspólnych lub gdy się pokrywają.

• Proste przecinające się – dwie proste są przecinającymi się, gdy mają tylko jeden punkt wspólny.

• Proste prostopadłe – dwie proste przecinające się pod kątem prostym nazywamy prostymi prostopadłymi.

Twierdzenie TALESA

Jeżeli ramiona kąta (lub przedłużenie) przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to stosunek długości odcinków wyciętych przez te proste na jednym ramieniu kąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków wyciętych na drugim ramieniu kąta (lub przedłużeniu).

Symetralna odcinka – prosta prostopadła do odcinka dzieląca na pół.

Dwusieczna kąta – półprosta o początku w wierzchołku kąta, dzieląca na kąt pół.

Gdy dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą to kąty naprzemianległe są równe.

Jeżeli  α ≠ β to proste nie są równoległe.

Okrąg i koło

Okręgiem nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od środka 0

jest równa promieniowi r .  Oznaczamy o(O,r).

Promień okręgu – odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem tego okręgu.

Długość okręgu = obwód okręgu D=2πr

Łuk okręgu – część okręgu, wyznaczona przez dwa punkty dowolne na okręgu.

Cięciwa okręgu nazywamy odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu. Gdy promień jest prostopadły do cięciwy, to dzieli cięciwę na dwie równe odcinki.

Średnica okręgu odcinek łączący dwa punkty na okręgu i przechodzący przez środek okręgu.

Położenie prostej i okręgu

Styczna do okręgu to prosta, która ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem. Styczna jest prostopadła do promienia.

Sieczna okręgu – prosta, która ma dwa punkty wspólne z okręgiem.

Rozłączna z okręgiem – prosta, która nie ma punktu wspólnego z okręgiem.

Położenie dwóch okręgów względem siebie

• Okręgi są rozłączne zewnętrznie – nie mają punktów wspólnych

• Okręgi styczne zewnętrznie – mają jeden punkt wspólny

• Okręgi przecinające się – mają dwa punkty wspólne

• Okręgi styczne wewnętrznie – jeden punkt wspólny

• Okręgi rozłączne wewnętrznie – nie mają punktów wspólnych

Kąty i koła

Kołem o środku  O i promieniu r , nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od środka  O jest równa lub mniejsza od długości promienia r.

Kąt wpisany w koło to kąt wypukły, wyznaczony przez dwie półproste zawierające cięciwy o wspólnym wierzchołku.

Kąt środkowy – kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku koła.

Już wkrótce znajdziesz tu przykładowe zadania.