Liczby i działania na liczbach

Liczbami naturalnymi nazywamy liczby dodatnie, całkowite.

Oznaczamy symbolem .

Przynależność zera do zbioru liczb naturalnych jest kwestią umowy, autorzy książek powinni określić, czy zero należy czy też nie do zbioru liczb naturalnych.

Liczby naturalne dzielimy na:

– liczby pierwsze – liczba pierwsza to liczba mająca tylko dwa dzielniki, czyli dzieli się przez 1 i siebie samą, np. 2, 3, 5, 7, 11…. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele

– liczby złożone – liczba złożona to liczba, która ma więcej niż dwa dzielniki, np. 4, 6, 9, 10, 12, ….

Liczby 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi ani złożonymi.

Cechy podzielności liczb naturalnych:

• liczba jest podzielna przez 2, gdy jest liczbą parzystą, czyli gdy cyfra jedności tej liczby jest parzysta,
• liczba jest podzielna przez 3, gdy suma wszystkich jej cyfr daje liczbę podzielną przez 3
• liczba jest podzielna przez 4, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4
• liczba jest podzielna przez 5, gdy cyfra jedności tej liczby jest 0 lub 5
• liczba jest podzielna przez 9, gdy suma wszystkich jej cyfr daje liczbę podzielną przez 9
• liczba jest podzielna przez 10, gdy cyfra jedności tej liczby jest 0
• liczba jest podzielna przez 100, gdy cyfra jedności i dziesiątej tej liczby jest 0

Cyfry rzymskie

I = 1      V = 5                  X = 10                L = 50                 C = 100       D = 500              M = 1000

Wartość liczby w zapisie rzymskim otrzymujemy poprzez dodawanie lub odejmowanie wartości znaków.

Dodajemy, gdy po prawej stronie większej wartości znaku stoi mniejsza a odejmujemy, gdy stoi po lewej stronie.

Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim:

• Znaki: I, X, C, M obok siebie mogą stać nie więcej niż trzy takie znaki
• Znaki: V, L, D mogą wystąpić w zapisie tylko raz

System liczbowy

Sposób w jaki zapisujemy liczby nazywamy systemem liczbowym. Liczby zapisujemy za pomocą cyfr, czyli cyfry to znak graficzny a liczby to wartość liczbowa.

Każda liczba w zapisie ma swoje znaczenie, pozycja na jakiej występuje oznacza jej wartość. Dla przykładu 123, oznacza, że jest jedna setka, dwie dziesiątki i trzy jedności.

Wyrażenie arytmetyczne to wyrażenie zbudowane z liczb, znaków działań i nawiasów.

Kolejność wykonywania działań:

• Działania w nawiasach
• Mnożenie lub dzielenie w kolejności ich występowania
• Dodawanie lub odejmowanie w kolejności ich występowania

Mnożenie – iloczyn

Mnożenie jest przemienne, to oznacza, że 8∙7 = 7∙8 = 56

Dzielenie – iloraz

Dzielenie nie jest przemienne, to oznacza, że 8:7≠7:8 Dzielnik nie może być zerem.

Dodawanie pisemne, głównie ma zastosowanie, gdy jedna z liczb jest większa od dziesięciu, np. 17+9, jest to ułatwienie w dodawaniu liczb o dużej wartości.

W dodawaniu ważny jest zapis, jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami, setki pod setkami itd.

Dodawanie pisemne zaczynamy od prawej strony (jedności) do lewej.

Odejmowanie pisemne, wykonujemy na liczbach o dużej wartości. Zapis w odejmowaniu jest taki sam jak w dodawaniu. Odejmowanie pisemne wykonujemy od większej liczby odejmujemy mniejszą.

Mnożenie pisemne, to wykorzystanie tabliczki mnożenia w zakresie 100, do policzenia liczb o dużej wartości. Mnożenie polega na wymnożeniu czynnika dolnego przez czynnik górny.

Gdy przy wymnażaniu, mamy wynik większy niż 10 to, zapisujemy tylko jedności a dziesiątki dodajemy do następnej kolumny,

Dzielenie pisemne, zaczynamy od lewej strony w kierunku prawej.

Potęgowanie

Potęgowanie to wielokrotne mnożenie tych samych liczb, zapisujemy   gdzie   jest podstawą potęgi a   – wykładnikiem potęgi.

2¹=2
2²=2∙2=4
2³=2∙2∙2=8

PAMIĘTAJ!

• Dowolna liczba podniesiona do pierwszej potęgi to ta sama liczba
• Dowolna liczba podniesiona do zerowej potęgi to jeden
• Zero podniesione do dowolne potęgi jest równe zero

Kolejność wykonywania działań

1. Działania w nawiasach
2. Potęgowanie
3. Dzielenie i mnożenie
4. Odejmowanie i dodawanie