Liczby rzeczywiste. Zbiory liczbowe

Liczby rzeczywiste

R – liczby rzeczywiste

Q – liczby wymierne

Z – liczby całkowite

N – liczby naturalne

R – Q (R/Q) – liczby niewymierne

Liczby naturalne

Liczby naturalne N = {0,1,2,3..} . Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Najmniejszą liczbą naturalną jest 0, a największa liczba nie istnieje –  dla dowolnej liczby naturalnej  istnieje liczba naturalna większa, czyli n+1 .

Wykonując działania na liczbach naturalnych nie zawsze otrzymujemy w wyniku liczbę naturalną.

• Dodawanie dwóch liczb naturalnych a i b (a, b  ∈ N) w wyniku zawsze otrzymamy liczbę naturalną
• Odejmowanie dwóch liczb naturalnych a i b (a, b ∈ N) w wyniku nie zawsze otrzymamy liczbę naturalną.
  • a \geq b \quad to \quad a - b \geq 0 \quad wynik jest liczbą naturalną
  • a \lt b \quad to \quad a - b \lt 0 \quad wynik nie jest liczbą naturalną
• Mnożenie dwóch liczb naturalnych a i b (a, b  ∈ N)  w wyniku zawsze otrzymujemy liczbę naturalną
• Dzielenie dwóch liczb naturalnych a i b (a, b  ∈ N) w wyniku nie zawsze otrzymamy liczbę naturalną. Liczbę naturalną otrzymamy tylko wtedy, gdy:
  • b \neq 0  , a =  b \cdot k czyli a jest wielokrotnością liczby b.

Dla dwóch liczb m i n ∈ N  gdy liczba m jest dzielnikiem liczby n, to znaczy że liczba n jest podzielna przez m, lub mówimy że liczba n jest wielokrotnością liczby m.

Pamiętaj:

• liczba 1 jest dzielnikiem każdej liczby naturalnej
• liczba 0 nie jest dzielnikiem żadnej liczby
• każda liczba naturalna jest dzielnikiem liczby 0

Zapis podzielności liczb naturalnych:

• m \mid n  – liczba n jest podzielna przez m
• m \nmid n  – liczba n nie jest podzielna przez m

Liczba naturalna n  jest podzielna przez liczbę naturalną m, m ≠ 0 bez reszty, gdy istnieje taka liczba naturalna k, dla której zachodzi równość n = m \cdot k

Dla liczb naturalnych  n, m gdzie  m ≠ 0 istnieje taka para liczb naturalnych p i r dla której mamy n = m \cdot p + r

gdzie: r < m, p – iloraz,  r – reszta Liczba parzysta - 2n  gdzie n ∈ N Liczba nieparzysta - 2n + 1    gdzie n ∈ N Liczba  0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi, ani liczbami złożonymi. Liczba pierwsza to liczba naturalna n > 1 która ma tylko dwa dzielniki, tj. liczba 1 i n

Liczba złożona to liczba naturalna n > 1  która ma więcej niż dwa dzielniki.

Liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki będące liczbami pierwszymi. Rozkład na czynniki pierwsze wykorzystujemy do wyznaczenia NWW (najmniejsza wspólna wielokrotność) i NWD (największy wspólny dzielnik).

Dla dowolnych liczb naturalnych dodatnich a, b  jest równość

Cechy podzielności liczb naturalnych

Liczba naturalna jest podzielna przez:

• 2, gdy ostatnią jej cyfrą jest jedna z cyfr: 0,2,4,6,8
• 3, gdy suma jej wszystkich cyfr daje liczbę podzielną przez 3
• 4, gdy dwie ostatnie jej cyfry tworzą liczbę podzielna przez 4
• 5, gdy ostatnią jej cyfrą jest 0 lub 5
• 6, gdy liczba jest jednocześnie podzielna przez 2 i przez 3
• 9, gdy suma jej wszystkich cyfr daje liczbę podzielną przez 9
• 10, gdy ostatnią jej cyfrą jest 0

Liczby całkowite

Liczby całkowite Z = {…, -4, -3,-2,-1,0,1,2,3,…} to zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb przeciwnych do liczb naturalnych.

Liczby wymierne

Liczbami wymiernymi nazywamy liczby, która można przedstawić w postaci ułamka

Liczby niewymierne

Liczbami niewymiernymi nazywamy liczby, która nie można przedstawić w postaci ułamka

Zbiory, przedziały

Zbiory

Przedziały