Liczby i działania na liczbach

System rzymski

Do zapisywania liczb w systemie rzymskiemu żywmy siedmiu znaków

I – 1     V – 5      X – 10       L – 50        C – 100      D – 500     M – 1000

Za pomocą tych znaków w systemie rzymskim możemy zapisać liczbę od 1 do 3999. Wyższe liczby rzymianie zapisywali za pomocą ligatur które oznaczały 5000 i 10000.

Zasady tworzenia liczb rzymskich:

• obok siebie nie mogą stać dwa znaki V, L, D
• obok siebie mogą stać co najwyżej trzy jednakowe znaki I, X, C, M

Odczytywanie wartości liczby zapisanej w systemie rzymskim:

• dodawanie wykonujemy jeśli znaki są takie same lub po znaku liczby większej występuje znak liczby mniejszej
• odejmowanie wykonujemy jeśli przed znakiem liczby większej występuje znak liczby mniejszej, są to

IV = 5 – 1 = 4              XL = 50 – 10 = 40              CD = 500 – 100 = 400

IX = 10 – 1 = 9            XC = 100 – 10 = 90            CM = 1000 – 100 = 900

• Katedra w Gnieźnie: MCCCXLII – MCCCXC

1342 – 1390         48 lat

• Katedra w Krakowie: MCCCXXII – MCCCLXIV

1322 – 1364          42 lata

• Bazylika Mariacka w Gdańsku: MCCCLIII – MDII

1353 – 1502           149 lat

• Wojna stulecia: 1337 – 1453

MCCCXXXVII – MCMLIII

• Epidemia dżumy w Europie: 1348 – 1352

MCCCXLVIII – MCCCLII

• Okres panowania Króla Władysława I Hermana: 1079 – 1102

MLXXIX – MCII

• Wyprawa Magellana: 1519 – 1522

MDXIX – MDXXII

Liczby naturalne dzielimy na:

• liczby pierwsze – liczba pierwsza to liczba mająca tylko dwa dzielniki, czyli dzieli się przez 1 i siebie samą, np. 2, 3, 5, 7, 11…. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele
• liczby złożone – liczba złożona to liczba, która ma więcej niż dwa dzielniki, np. 4, 15, 39….
• Liczby 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi ani złożonymi.

Cechy podzielności liczb naturalnych n:

• liczba n jest podzielna przez 2, gdy jest liczbą parzystą, czyli gdy cyfra jedności tej liczby jest parzysta,
• liczba n jest podzielna przez 3, gdy suma wszystkich jej cyfr daje liczbę podzielną przez 3
• liczba n jest podzielna przez 4, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4
• liczba n jest podzielna przez 5, gdy cyfra jedności tej liczby jest 0 lub 5
• liczba n jest podzielna przez 9, gdy suma wszystkich jej cyfr daje liczbę podzielną przez 9
• liczba n jest podzielna przez 10, gdy cyfra jedności tej liczby jest 0
• liczba n jest podzielna przez 100, gdy cyfra jedności i dziesiątej tej liczby jest 0

Rozkład liczby złożonej na czynniki pierwsze

Zapisanie liczby złożonej w postaci iloczynu liczb pierwszych nazywamy rozkładem liczby złożonej na czynniki pierwsze.

Mając liczbę złożoną dzielimy ją przez liczby pierwsze, stawiamy kreskę i po prawo kreski zapisujemy dzielnik a po lewo wynik dzielenia.

NWD (a, b) – Największy Wspólny Dzielnik liczby  a i b , to iloczyn czynników rozkładu występujące w liczbie a i liczbie b

\sf NWD (198,154) =   2 \cdot  11 = 22 to największa liczba przez jaką możemy podzielić 198 i 154.

NWD głównie wykorzystujemy do skracania ułamków zwykłych jak również do oceny ułamka czy jest właściwy czy niewłaściwy.

NWW (a, b) – Najmniejsza Wspólna Wielokrotność liczby  i , to iloczyn czynników rozkładu występujące w liczbie  i liczbie  i liczb niepowtarzalnych. Gdy znamy NWD (a, b) to jest to iloczyn NWD (a, b) i liczb, z rozkładu które się nie powtarzają.

\sf NWW (198,154) = 2 \cdot  11 \cdot  3 \cdot  3 \cdot  7  = 1386

NWW głownie wykorzystujemy do sprowadzania ułamków zwykłych do wspólnego mianownika.

Liczba wymierna to liczba, którą można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego.

Ułamek dziesiętny, to zapis ułamka zwykłego za pomocą liczby, przedstawionej z częścią całości po przecinku.

Zamiana ułamka zwykłego na ułamek dziesiętnego, polega na zamianie mianownika na mianownik 10, 100, 1000, 10000

Ilość miejsc po przecinku wskazują ilość zer w mianowniku, jeśli licznik zawiera za mało cyfr, należy dopisać w brakujące miejsca zera przed pierwszą cyfrą.

\sf \cfrac{23}{50}=\cfrac{23 \cdot 2 }{50 \cdot 2} = \cfrac{46}{100}=0,46  rozszerzyliśmy mianownik do 100 (dwa miejsca po przecinku muszą być zajęte), w liczniku mamy 46 więc od razu po przecinku piszemy 46

\sf \cfrac{3}{50}=\cfrac{3 \cdot 2 }{50 \cdot 2} = \cfrac{6}{100}=0,06  rozszerzyliśmy mianownik do 100 (dwa miejsca po przecinku muszą być zajęte), w liczniku mamy 6 więc 6 trafia na ostatnie miejsca a w brakujące wpisujemy zero.

Ułamki zwykłe

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych można wykonać tylko gdy mają wspólny mianownik. Mając wspólny mianownik, dodajemy lub odejmujemy liczniki a mianownik pozostawiamy bez zmiany.

\sf \cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{3}=\cfrac{2}{3} \\[1em]
\\[1em] \sf \cfrac{6}{7} - \cfrac{1}{7}=\cfrac{5}{7} \\[1em]

Gdy mamy całości w ułamkach to dodajemy lub odejmujemy całości do całości a ułamki do ułamków

Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Ułamki możemy dodać lub odjąć tylko wtedy, gdy mamy TAKIE same mianowniki.

Aby dodać te dwa ułamki musimy najpierw znaleźć wspólny mianownik, czyli rozszerzyć mianownik do takiej liczby, która jest podzielna przez 3 i 9, jest to 9

Mnożenie ułamków

Mnożenie ułamków zwykłych można wykonać na dowolnych ułamkach. Mnożymy licznik pierwszego przez licznik drugiego ułamka i mianownik pierwszego przez mianownik drugiego mianownika.

Dzielenie ułamków

Dzielenie dwóch ułamków zwykłych, to mnożenie pierwszego ułamka przez odwrotność drugiego ułamka.