Liczby rzeczywiste
R – liczby rzeczywiste
Q – liczby wymierne
Z – liczby całkowite
N – liczby naturalne
R – Q (R/Q) – liczby niewymierne
Liczby naturalne
Liczby naturalne N = {0,1,2,3..} . Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Najmniejszą liczbą naturalną jest 0, a największa liczba nie istnieje – dla dowolnej liczby naturalnej istnieje liczba naturalna większa, czyli n+1 .
Wykonując działania na liczbach naturalnych nie zawsze otrzymujemy w wyniku liczbę naturalną.
- Dodawanie dwóch liczb naturalnych a i b (a, b ∈ N) w wyniku zawsze otrzymamy liczbę naturalną
- Odejmowanie dwóch liczb naturalnych a i b (a, b ∈ N) w wyniku nie zawsze otrzymamy liczbę naturalną.
- a \geq b \quad to \quad a - b \geq 0 \quad wynik jest liczbą naturalną
- a \lt b \quad to \quad a - b \lt 0 \quad wynik nie jest liczbą naturalną
- Mnożenie dwóch liczb naturalnych a i b (a, b ∈ N) w wyniku zawsze otrzymujemy liczbę naturalną
- Dzielenie dwóch liczb naturalnych a i b (a, b ∈ N) w wyniku nie zawsze otrzymamy liczbę naturalną. Liczbę naturalną otrzymamy tylko wtedy, gdy:
- b \neq 0 , a = b \cdot k czyli a jest wielokrotnością liczby b.
Dla dwóch liczb m i n ∈ N gdy liczba m jest dzielnikiem liczby n, to znaczy że liczba n jest podzielna przez m, lub mówimy że liczba n jest wielokrotnością liczby m.
Pamiętaj:
- liczba 1 jest dzielnikiem każdej liczby naturalnej
- liczba 0 nie jest dzielnikiem żadnej liczby
- każda liczba naturalna jest dzielnikiem liczby 0
Zapis podzielności liczb naturalnych:
- m \mid n – liczba n jest podzielna przez m
- m \nmid n – liczba n nie jest podzielna przez m
Liczba naturalna n jest podzielna przez liczbę naturalną m, m ≠ 0 bez reszty, gdy istnieje taka liczba naturalna k, dla której zachodzi równość n = m \cdot k
Dla liczb naturalnych n, m gdzie m ≠ 0 istnieje taka para liczb naturalnych p i r dla której mamy n = m \cdot p + r
gdzie: r < m, p – iloraz, r – reszta Liczba parzysta - 2n gdzie n ∈ N Liczba nieparzysta - 2n + 1 gdzie n ∈ N Liczba 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi, ani liczbami złożonymi. Liczba pierwsza to liczba naturalna n > 1 która ma tylko dwa dzielniki, tj. liczba 1 i n
Liczba złożona to liczba naturalna n > 1 która ma więcej niż dwa dzielniki.
Liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki będące liczbami pierwszymi. Rozkład na czynniki pierwsze wykorzystujemy do wyznaczenia NWW (najmniejsza wspólna wielokrotność) i NWD (największy wspólny dzielnik).
Dla dowolnych liczb naturalnych dodatnich a, b jest równość
NWD (a,b) \cdot NWW(a,b) = a \cdot bCechy podzielności liczb naturalnych
Liczba naturalna jest podzielna przez:
- 2, gdy ostatnią jej cyfrą jest jedna z cyfr: 0,2,4,6,8
- 3, gdy suma jej wszystkich cyfr daje liczbę podzielną przez 3
- 4, gdy dwie ostatnie jej cyfry tworzą liczbę podzielna przez 4
- 5, gdy ostatnią jej cyfrą jest 0 lub 5
- 6, gdy liczba jest jednocześnie podzielna przez 2 i przez 3
- 9, gdy suma jej wszystkich cyfr daje liczbę podzielną przez 9
- 10, gdy ostatnią jej cyfrą jest 0
Liczby całkowite
Liczby całkowite Z = {…, -4, -3,-2,-1,0,1,2,3,…} to zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb przeciwnych do liczb naturalnych.
Liczby wymierne
Liczbami wymiernymi nazywamy liczby, która można przedstawić w postaci ułamka
\frac{m}{n}, m ∈ Z, n ∈ Z, n \neq 0Liczby niewymierne
Liczbami niewymiernymi nazywamy liczby, która nie można przedstawić w postaci ułamka
\frac{m}{n}, m ∈ Z, n ∈ Z, n \neq 0 np. \sqrt{2}, \sqrt[3]{5}Zbiory, przedziały
Zbiory
Przedziały