Układy równań 1 klasa liceum

Metoda podstawiania

Metoda podstawiania polega na przekształceniu jednego z równań tak, aby wyrazić jedną zmienną za pomocą drugiej, a następnie podstawieniu tego wyrażenia do drugiego równania, co pozwala rozwiązać układ krok po kroku.

Metoda podstawiania w kilku krokach:

1. Wybieramy jedno równanie i wyznaczamy jedną niewiadomą, uzależnioną od drugiego
2. Podstawiamy otrzymane wyrażenie do drugiego równania
3. Rozwiązujemy drugie równania i wyznaczamy wartość drugiej niewiadomej
4. Podstawiamy wyznaczoną niewiadomą do pierwszego równania i obliczamy wartość pozostałej niewiadomej

Metoda przeciwnych współczynników

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim przekształceniu równań w układzie, aby po ich dodaniu równań doprowadza do wyeliminowania jednej z niewiadomych. W tym celu należy uzyskać równanie, w którym jedna z niewiadomych występuje w obu równaniach o tej samej wartości, ale przeciwnych znakach.

Metoda przeciwnych współczynnikach w kilku krokach:

1. Przekształcamy równania tak, aby współczynniki jednej z niewiadomych były tej samej wartości, lecz przeciwnych znakach.
2. Dodajemy równania, jedna z niewiadomych zostaje wyeliminowana (znika)
3. Rozwiązujemy powstałe równanie z jedną niewiadomą
4. Podstawienie otrzymanej wartości jednej z niewiadomych do jednego z równań, by obliczyć drugą niewiadomą.

Układ równań liniowych

Nazywamy:

• Układ oznaczony to taki, który ma dokładnie jedno rozwiązanie – parę liczb (x,y) . Warunkiem koniecznym jest spełnienie nierówności:

a_1 \cdot b_2 -  a_2 \cdot b_1 \neq 0

W układzie współrzędnych taki układ przedstawia się jako dwie proste przecinające się w jednym punkcie o współrzędnych .

• Układ nieoznaczony (tożsamościowy) to taki, który ma nieskończenie wiele rozwiązań. Zachodzi wtedy, gdy oba równania opisują tę samą prostą – są przekształceniem tego samego równania. Spełnia warunek:

a_1 =  a_2 b_1 = b_2 c_1 = c_2

Wynika z tego, że: a_1 \cdot b_2 -  a_2 \cdot b_1 \eq 0

W układzie współrzędnych układ ten przedstawia się jako dwie proste nakładające się pokrywające się na całej długości.

• Układ sprzeczny to taki, który nie ma rozwiązań. Spełnia warunek:

a_1 =  a_2 b_1 = b_2 c_1 \neq c_2

Wynika z tego, że: a_1 \cdot b_2 -  a_2 \cdot b_1 \eq 0

W układzie współrzędnych układ ten przedstawia się jako dwie równoległe proste, które się nie przecinają – a więc nie mają punktu wspólnego.

Metoda wyznacznikowa – metoda Cramera

Metoda wyznacznikowa to bardzo uporządkowany sposób rozwiązywania układu równań liniowych. Polega na wykorzystaniu wyznaczników, które tworzy się z współczynników przy niewiadomych oraz wyrazów wolnych. Na podstawie tych wyznaczników oblicza się wartości poszczególnych niewiadomych, korzystając wzory.

Układy trzech równań z trzema niewiadomymi

• Wyznaczamy jedną niewiadomą z jednego równania. Wybieramy jedno z równań i przekształcamy je tak, aby uzyskać wyrażenie dla jednej zmiennej.
• Podstawiamy to wyrażenie do dwóch pozostałych równań. Otrzymujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
• Rozwiązujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, dowolną metodą.
• Obliczamy trzecią niewiadomą.