Wielomiany

Definicja wielomianów

Jednomianem jednej zmiennej rzeczywistej  nazywamy wyrażenie, które można zapisać w postaci:

\bf a \cdot x^n

gdzie:

• a – współczynnik jednomianu – liczba rzeczywista różna od zera
• n – stopień jednomianu – n ∈ N_+ – liczba dodatnia całkowita

Jednomianem stopnia zero nazywamy stałą różną od zera  \bf a \cdot x^0 = a

Jednomian zerowy to liczba równa zeru. Jednomian zerowy nie ma określonego stopnia.

Jednomiany różniące się tylko współczynnikiem liczbowym nazywamy jednomianami podobnymi lub wyrazami podobnymi. Jednomiany podobne można zredukować, zastępując ich sumę jednym jednomianem podobnym do nich.

Wielomianem stopnia n, n ∈ N_+  jednej zmiennej rzeczywistej  nazywamy wyrażenie, które można zapisać w postaci:

Stopień wielomianu to największy wykładnik potęgi zmiennej występujący wśród jego jednomianów (przy założeniu, że współczynniki są różne od zera).

Wielomianem stopnia zero nazywamy każdą ustaloną liczbę rzeczywistą różną od zera.

Wielomianem zerowym nazywamy liczbę równa zeru. Wielomian zerowy nie ma określonego stopnia.

Dwumianem nazywamy wielomian będący sumą dwóch niezerowych jednomianów różnych stopni.

Dwumian linowym jest to dwumian stopnia pierwszego (funkcja liniowa) ax + b, gdzie a ≠ 0

Trójmianem nazywamy wielomian będący suma trzech jednomianów różnych stopni.

Trójmian kwadratowy jest to trójmian stopnia drugiego (funkcja kwadratowa) ax² + bx + c, gdzie a ≠ 0.

Suma wszystkich współczynników wielomianu  W(x) jest równa W(1).

Operacje na wielomianach i ich własności

Dodawanie i odejmowane wielomianów

Q(x) = W(x) + P(x)

Q(x) = W(x) – P(x)

Dodawanie i odejmowanie wielomianów polega na łączeniu jednomianów podobnych, a następnie dodawanie lub odejmowanie ich współczynników liczbowych.

Mnożenie wielomianów

Q(x) = W(x) \cdot P(x)

Wykonując mnożenie wielomianów, stasujemy prawo rozdzielczości mnożenia względem dodawania. Aby pomnożyć wielomian przez drugi wielomian, należy pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu, a następnie wykonać redukcję wyrazów podobnych.

Równość wielomianów

Dwa wielomiany tej samej zmiennej  x są równe wtedy, gdy są to wielomiany tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x.

Wzory skróconego mnożenia

Podzielność wielomianów

Wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x) tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian Q(x), dla którego W(x) = Q(x)⋅P (x)

gdzie:

Q(x) – iloraz wielomianu W (x)  przez P (x)

P (x) – dzielnik wielomianu W (x)

Q(x) = \frac{W (x)}{P (x)} \qquad P(x) = \frac{W (x)}{Q (x)}

Dzielenie wielomianów przez dwumian liniowy

Sposoby dzielenia wielomianów:

sposobem pisemnym

schemat Hornera – rozpisanie dla wielomianu 5 stopnia

Wielomian  W(x) podzielony przez dwumian P(x) = x – p otrzymamy wielomian Q(x)  oraz resztę z dzielenia r, można to zapisać: W(x) = (x – p) ⋅ Q(x) + r

Reszta z dzielenia wielomianu W(x)  przez dwumian x – p jest równa W(p) = r

Pierwiastki wielomianu. Twierdzenie Bezouta

Pierwiastkiem wielomianu W(x) nazywamy liczbę rzeczywistą a, dla której W(a) = 0

Liczba pierwiastków wielomianu W(x) jest nie większy niż stopień wielomianu W(x).

Np. st. W(x) jest 4, to maksymalna ilość pierwiastków jest równa 4, lub mniej.

Pierwiastkami wielomianu W(x)  są liczby x_1, x_2, x_3 \space gdzie \space W(x) = x^3 + px^2 +qx + r zachodzi zależność:

Twierdzenie Bezouta

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy, gdy wielomian  W(x) jest podzielny przez dwumian x – a

Pierwiastki całkowite – jeśli wszystkie współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi to wielomian

ma pierwiastek całkowity w zbiorze dzielników wyrazu wolnego a_0    .

Rozkład wielomianu polega na zapisaniu go jako iloczynu prostszych wielomianów. Wykorzystywany przy rozwiązywaniu równań i nierówności wielomianowych.