Ułamki algebraiczne. Równania i nierówności wymierne
Ułamkiem algebraicznym jednej zmiennej rzeczywistej nazywamy wyrażenie postaci \frac{W(x)}{P(x)} , gdzie licznik W(x) i mianownikiem P(x) są wielomianami, przy czym P(x) ≠ 0.
Skracanie ułamków algebraicznych, polega na:
- Rozkładaniu wielomianów znajdujących się w liczniku i mianowniku ułamka na iloczyn możliwie najprostszych czynników.
- Wyznaczeniu dziedziny ułamka przed dokonaniem skrócenia – sprawdzamy, dla jakich wartości zmiennej mianownik nie jest równy zeru.
- Skróceniu ułamka poprzez podzielenie licznika i mianownika przez wspólne czynniki – o ile nie są to czynniki, które powodują wykluczenie z dziedziny.
Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych
Suma lub różnica dwóch ułamków algebraicznych o tym samym mianowniku jest ułamek algebraiczny, którego licznik jest sumą lub różnica wielomianów występujących w licznikach tych ułamków, a mianownik jest wielomianem występującym w mianowniku każdego ze składników. Dziedziną otrzymanego ułamka algebraicznego jest dziedzina każdego z ułamków składowych.
Dodać lub odjąć ułamki algebraiczne o różnych mianownikach, sprowadzamy te ułamki do wspólnego mianownika.
Dziedziną sumy lub różnicy dwóch ułamków algebraicznych o różnych mianownikach jest część wspólna dziedzin obu ułamków, które dodajemy lub odejmujemy.
Mnożenie ułamków algebraicznych
Iloczyn ułamków algebraicznych jest ułamkiem algebraicznym o liczniku równym iloczynowi liczników i mianowniku równym iloczynowi mianowników tych ułamków.
Dziedziną iloczynu ułamków jest zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wielomiany występujące w mianownikach obu ułamków są różne od zera.
Dzielenie ułamków algebraicznych
Iloraz dwóch ułamków algebraicznych jest ułamek algebraiczny, który jest iloczynem pierwszego ułamka i odwrotności drugiego ułamka.
Dziedziną ilorazu ułamków jest zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wielomiany występujące w mianownikach obu ułamków oraz wielomian występujący w liczniku dzielnika jest różny od zera.
Równanie wymierne
Równaniem wymiernym z niewiadomą nazywamy równanie w postaci
\frac{W(x)}{P(x)} =0 \iff W(x)=0 \land P(x) \neq 0
Nierówności wymierne
Nierównością wymierną z niewiadomą nazywamy nierówności w postaci
\frac{W(x)}{P(x)} < 0 \quad \frac{W(x)}{P(x)} \leq 0 \quad \frac{W(x)}{P(x)} > 0 \quad \frac{W(x)}{P(x)} \geq 0 \quad \text{gdzie } P(x) \neq 0Najczęściej stosowaną metodą jest mnożenie stronami nierówności przez kwadrat mianownika
Funkcja homograficzna to szczególny przypadek funkcji wymiernej, w której zarówno licznik, jak i mianownik są wielomianami liniowymi