Rachunek prawdopodobieństwa

Własności prawdopodobieństwa

\Omega – jest niepustym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczeń losowych

P – prawdopodobieństwo na podzbiorach zbioru   \Omega

P(\empty) = 0 – prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego

P(\Omega) = 1   prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego

P(A^{\prime}) = 1- P(A) – zdarzenie przeciwne

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) – suma dwóch zdarzeń

P(A \cup B) \leq P(A) + P(B) – suma dwóch zdarzeń

Prawdopodobieństwo klasyczne

Prawdopodobieństwo klasyczne to stosunek liczby zdarzeń sprzyjających do liczby wszystkich możliwych, równo prawdopodobnych zdarzeń.

|\Omega| – liczba elementów zbioru \Omega

|A| – liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzenia losowego

Schemat Bernoullego

Jest to doświadczenie losowe, w którym wykonujemy n niezależnych prób, każda próba ma tylko dwa możliwe wyniki: sukces z prawdopodobieństwem p i porażkę z prawdopodobieństwem  q = 1-p . Obliczamy prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów w tych n próbach.

\large P_n(k) =\dbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}  \\

\dbinom{n}{k}    – liczba kombinacji (liczba sposobów, w jakie można uzyskać  sukcesów w  próbach)

p  – prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie

k  – liczba sukcesów

n – liczba prób

Prawdopodobieństwo warunkowe

Jest to prawdopodobieństwo zdarzenia A, pod warunkiem, że zdarzenie B już zaszło, oznaczamy wzorem:

P(A|B) = \cfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

P(A \cap B) – prawdopodobieństwo, że wydarzą się jednocześnie zdarzenie A i B

P(B) – prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia  B

Twierdzenie Bayesa

A jest zdarzeniem zawartym w przestrzeni \Omega , zdarzenie B_1, B_2, \ldots , B_n  będą zdarzeniami zawartymi w samej przestrzeni \Omega , spełnia warunki:

1. zdarzenia B_1, B_2, \ldots , B_n wykluczają się parami
2. dla P(B_i) >0 \, dla \, i = 1,2, \ldots , n
3. B_1 \cup B_2 \cup \ldots \cup B_n = \Omega

P(B_i|A) = \cfrac{P(A | B_i) \cdot P(B_i)}{P(A)}

gdzie: